PAK GURU PAHMI

GERAK HARMONIK SEDERHANA

Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik suatu benda disekitar titik keseimbangannya,gerak harmonik sederhana disebabkan oleh gaya pemulih yang bekerja pada benda yang besarnya sebanding dengan besar simpangannya dan arahnya berlawanan dengan arah simpangannya,secara matematis gaya pemulih dituliskan oleh:

Kita terapkan Hukum II Newton tentang gerak untuk Untuk

kita dapatkan

Gerak harmonik sederhana memiliki persamaan kurva sinusoidal,yakni

Dari persamaan

Kita akan mendapatkan

Energi total adalah jumlah energi potensial dan energi kinetik

Ketika simpangan maksimum x=A,kecepatan nol,maka

GERAK HARMONIK TEREDAM

Apabila gaya gesekan tidak diabaikan, maka gaya gesekan ini sebanding dengan .

atau = -c

= -c - k

∑ = m

-c - k = m atau

-c - k x = m

Besaran c disebut konstanta redaman sehingga persamaan geraknya menjadi

+ + x = 0

Jika dan = didapatkan persamaan

+ + x = 0 x =

+ q + = 0

=

1. Jika - > 0 atau sangat teredam (over damped) sehingga persamaannya

teredam lebih dari grafik terlihat tidak memotong sumbu t sehingga bukanlah merupakan gerak harmonik.

2. Jika - = 0 atau disebut Gerak harmonik teredam kritis sehingga persamaannya

Maka = didapat :

Teredam kritis (critically damped) dari grafik terlihat tidak memotong sumbu t sehingga bukanlah merupakan gerak harmonik.

3. Jika - <>

Fungsi periodic dengan amplitudo semakin kecil secara eksponensial dan energinya mengecil secara eksponensial

dengan laju fraksional

GERAK HARMONIK TEREDAM TERPAKSA.

Pada kasus sistem yang berosilasi sederhana akan berosilasi selamanya, tetapi pada setiap sistem mempunyai redaman sehingga sistem akan berhenti berosilasi. Untuk mempertahankan suatu sistem osilator, maka energi berasal dari sumber luar harus diberikan pada sistem yang besarnya sama dengan energi disipasi yang ditimbulkan oleh medium peredamnya, osilasi yang demikian disebut osilasi paksaan.

Jika pada system osilasi dikenai gaya gerak sebesar F_ext = F₀ cos , maka gaya neto yang bekerja pada system tersebut adalah

dengan

Berdasarkan hokum II Newton , sehingga,

.............................................................................. (3.1)

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial linear ordo dua nonhomogen, yang mempunyai solusi umum sebagai berikut :

....................................................................................... (3.2)

Dalam hal ini merupakan penyelesaian persamaan homogen ; yang hasilnya telah diperoleh dalam pembahasan sebelumnya yaitu :

............................................................................ (3.3)

Sedangkan ................................................................... (3.4)

Substitusikan hasil di atas pada persamaan (3.1), sehingga diperoleh hasil,

Dengan, maka persamaan 3.2 menjadi

,

(ambil bagian realnya), maka :

Jika , maka :

dan ;

; dan ; jika kedua persamaan tersebut dikuadaratkan maka diperoleh,

; dan

Ingat bahwa , maka dari kedua hasil di atas diperoleh,

.................................................................. (3.5)

Substitusikan hasil di atas pada persamaan 3.4, sehingga diperoleh:

............................................. (3.6)

Substitusikan persamaan (3.3) dan (3.6) pada persamaan (3.2), sehingga diperoleh solusi umum sebagai

............. (3.7)

Dengan ; maka :

Jadi, ........................................................................... (3.8)

Suatu frekuensi yang menghasilkan amplitudo osilasi A maksimum dinamakan sebagai frekuensi resonansi () yang diperoleh dari:

sehingga ............................................... (3.9)

Ingat , sehingga :

............................................................................................. (3.10)

Dengan mensubstitusikan persamaan 3.9 dan 3.10 pada persamaan 3.5, maka diperoleh amplitudo maksimumnya,

.......................................... (3.11)

Kasus Teredam Lemah (Weak Damping), terjadi jika sangat kecil dibandingkan dengan frekuensi alamiah ( << ), sehingga frekuensi resonansi berbeda sedikit dari maka,

, dengan demikian................ (3.12)

Dengan pendekatan :

, maka :

, maka :

, jika hasil ini dikuadratkan maka akan diperoleh :

........................................................................ (3.13)

Faktor Kualitas (Q), merupakan frekuensi yang digunakan dalam sistem osilasi mekanik seperti pada sistem osilator listrik. Besaran Q merupakan suatu besaran tak berdimensi dan menyatakan tingkat redaman dari suatu osilator. Faktor kualitas (Q) dari sebuah sistem resonansi merupakan suatu cara untuk menunjukkan ketajaman dari puncak resonansi, yang didefinisikan sebagai :

:

...................................... (3.14)

Teredam Kuat (Strong Damping). Perbedaan yang paling menonjol pada saat teredam kuat, yaitu tidak ada resonansi amplitude yang terjadi jika , karena amplitude menjadi sebuah fungsi dari yang menurun secara mendatar(monoton). Maka ; sehingga :

...................................................................................... (3.15)

GAYA PEMAKSA TIDAK SINUSOIDAL

Dalam menentukan gerak osilator harmonik yang digerakkan oleh gaya periodik eksternal dengan kata lain adalah sinusoidal. Hal ini penting untuk menggunakan metode yang lebih banyak dari pada bagian yang sebelumnya. Dalam kasus yang lebih umum, lebih baik dengan menggunakan prinsip superposisi. Prinsip ini dapat dipakai untuk beberapa sistem yang ditentukan oleh persamaan diferensial linear. Dalam menerapkan prinsip ini jika gaya gerak eksternal pada osilator harmonik teredam diberikan oleh gaya fungsi superposisi

persamaan diferensialnya:

masing-masing memenuhi fungsi x_n(t), maka solusi dari persamaan diferensial gerak diatas adalah diberikan oleh superposisi

secara tepatnya prinsip ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan cara substitusi

(3.1)

khususnya ketika gaya gerak berperiodik, jika nilai untuk waktu t adalah dimana T adalah perioda, kemudian gaya fungsi dapat dinyatakan sebagai istilah superposisi harmonik menurut teorema Fourier. Bagian teorema ini adalah fungsi periodik f(t) dapat dikembangakan sebagai penjumlahan, maka

(3.2)

koefisien-koefisien ini diberikan dengan mengikuti formula

(3.3)

disini T adalah perioda dan adalah frekuensi yang paling pokok. Jika fungsi f(t) adalah fungsi genap maka f(t) = f(-t), maka koefisien b_n = 0 untuk semua n. Perluasan deret ini merupakan deret fourier cosinus. Sama halnya jika kita mempunyai sebuah fungsi ganjil maka f(t) = -f(-t), kemudian semua a_n hilang, dan deret ini disebut deret fourier sinus. Dengan menggunakan hubungan hal ini digunakan untuk membuktikan persamaan 3.2 dan 3.3, juga mungkin dinyatakan dalam bentuk eksponensial komplek, maka

; (3.4)

(3.5)

Demikianlah untuk menetukan dari gerak yang tetap pada osilator harmonik untuk memberikan gaya gerak periodik. Kita menyatakan gaya sebagai deret Fourier dari bentuk persamaan 3.2 dan 3.4 untuk menentukan koefisien a_n dan b_n atau c_n.Untuk setiap nilai n, adalah disesuaikan dengan gerak harmonik nw yang paling pokok dengan frekuensi w, hal ini tidak lain adalah x_n(t). superposisi dari semua x_n(t) memberikan gerak yang sebenarnya. Seandainya salah satu dari frekuensi gerak harmonik berdekatan dengan frekuensi w_, maka respon harmonik akan mendominasi gerak tersebut. Hasilnya jika konstanta teredam g sangat kecil, maka kemungkinan osilasinya akan tetap sinusoidal, jika terlalu tinggi gaya gerak nonsinusoidal akan diaplikasikan.

Gerak Harmonik 2 dan 3 Dimensi

• Gerak harmonik isotropik dua dimensi

Dalam kasus satu dimensi, persamaan differensial , akan sama dengan persamaan dua komponen:

Persamaan diatas terpisah, dan kita dapat menuliskan bentuk solusi sperti di bawah ini :

……………………………….(1)

Dimana

Integral , , α, dan β adalah konstan dalam menentukan kondisi awal pada sebuah kasus.

Untuk menemukan persamaan secara singkat, kita dapat mengeliminasi waktu t diantara dua persamaan. Untuk menulisnya, kita dapat menulis persamaan kedua menjadi bentuk

Dimana

Ketika

Dari persamaan (1), kemudian kita memperoleh persamaan:

Dengan mengkuadratkan dan menukarkan persamaan diatas, kita memperoleh:

Dengan maka

Untuk fungsi kuadrat dalam x dan y, memiliki persamaan umum:

Jika, elip

Pada kasus ini, deskriminan sama dengan : adalah negative.

Terutama, jika bentuk differensiasi adalah , dengan menurunkan persamaan di atas, diperoleh ;

Jika bentuk differensiasi adalah , maka persamaan di atas merupakan sebuah garis lurus, yaitu :

Tanda positif diberikan jika , dan tanda negatif jika . Dalam kasus yang umum, kemiringan ellip adalah

• Gerak harmonik tiga dimensi

Dalam kasus gerak tiga dimensi, ada tiga persamaan differensial :

… (2)

ü Isotropik

Dari persamaan (2) diatas, kita dapat menuliskan :

Keenam konstanta integrasi tersebut adalah determinan dari posisi awal dan kecepatan dari partikel. Persamaan diatas dapat dinyatakan secara vektor

ü Nonisotropik

Dari persamaan diatas, kita dapat menuliskan :

• Kesetimbangan energi

Dalam pembahasan sebelumnya, kita melihat bahwa fungsi energi potensial dari gerak harmonik satu dimensi adalah . Secara umum untuk kasus tiga dimensi adalah : .

Ketika dan sama untuk . Jika . Maka kita mempunyai kasus isotropik dan :

Energi total dalam kasus isotropik diberikan dalam persamaan yang singkat yaitu :

Yang mana sama untuk kasus satu dimensi yang telah kita bahas sebelumya.

Gerak Harmonik Tidak Linier

Ketika sebuah sistem dipindahkan dari posisi kesetimbanghan gaya pemulih bias diubah ke dalam cara lain juga dengan perbandingkan perpindahan secara langsung. Seperti contoh, sebuah p[egas tidak harus mengikuti hokum Stooke secara eksak, juga dalam beberapa kasus fisika, fungsi gaya pemulih bersifat nonlinier, seperti dalam kasus bandul sederhana dibahas dalam contoh berikut.

Dalam kasus non linier, gaya pemulih dapat dituliskan sebagai :

Di mana fungsi menunjukan permulaan dari linear. Ini diperlukan untuk persamaan kuadrat atau pangkat yang lebih tinggi, dalam perpindahan x. persamaan diferensial untuk gaya arahnya ke bawah, diasumsikan tidak ada gaya eksternal yang berkerja dapat dituliskan dalam bentuk.

Disini kita dapat mengembangkan sebagai deret yang panjang

Persamaan di atas biasanya menghendaki beberapa metode pendekataan untuk menghasilkan solusi. Untuk menggambarkan salah satu metoda untuk mengambil kasus khusus yang mana hanya bentuk pangkat tiga dari yang penting. Kemudian kita peroleh.

Persamaan di atas dibagi m dan diperoleh kita dapat menuliskan

Kita akan memperoleh solusi dengan metoda pendekatan secara berturut-berturut

Sekarang kita tahu bahwa untuk x=0 solusi untuk . Kita coba pendekatan pertama dengan

Di mana tidak sama dengan . Substitusikan solusi di atas kedalam persamaan diferensial yang memberikan.

Langkah terakhir kita harus menggunakan identitas trigonometri di mana berasal dari hubungan

Berdasarkan perubahan dan pengelompokan bentuk di atas kita peroleh

Pada kasus A=0, kita tahu bahwa solusiyna tidak eksak tidak memenuhi persamaan diferensial meskipun, pendekatan untuk nilai yang berlaku untuk nilai yang kecil diperoleh dengan cara mengatur jumlah dalam kurung sama dengan nol. Hasilnya diperoleh:

Frekuensi pada gerak harmonik non linier merupakan fungsi amplitudo A.

Untuk memperoleh solusi yang lebih baik kita harus memasukan suatu harga yang melibatkan ketiga harmonik, . Kemudian kita akan memperoleh

Solusi kedua dalam bentuk

Letakan persamaan diatas kedalam persamaan diferensial yang kita temukan setelah mengelompokan bentuk:

Pertama-pertama , atur jumlah dalam kurung sama dengan nol yang memberikan harga yang sama untuk yang ditemukan di atas. Persamaan kedua sama dengan nol yang memberikan nilai koefisien B, yaitu

Di mana kita asumsikan bahwa persamaan ini melibatkan yang cukup kecil sehingga diabaikan. Pendekatan yang kedua dapat digambarkan :

;

Kita dapat menghentikan persamaan ini, tetapi prose situ dapat diulang sebelum menemukan pendekatan yang ketiga dan seterusnya.

Berdasarkan analisis di atas, meskipun diakui sangat sederhana, yang membawa dua esensi yang menggambarkan gaya pemulih dari osilasi non linier. Perioda osilasi adalah fungsi amplitudo getaran, dan osilasi tidak tepat sinusoidal tetapi dapat dianggap sebagai superposisi dari beberapa gerak harmonik. Ini dapat ditunjukan bahwa getaran untuk sistem non linier bergerak sinusoidal……

Gerak partikel bermuatan dalam meden magnet dan medan listrik

Jika kita menembakan sebuah matan positif q₀ dengan kecepatan v melalui sebuah titik P dan jika sebuah gaya F bekerja pada muatan yang bergerak tersebut, maka sebuah medan megnet B ada dititik P, dimana adalah vektor yang memenuhi hubungan

v, q₀, dan F adalah kuantitas-kuantitas yang diukur. Besarnya gaya pembelok magnetik F, menurut kaidah perkalian vektor adalah

Dimana adalah sudut antara v dan B.

Gambar diatas menunjukan hubungan antara vektor-vektor tersebut. Dapat dilihat dari persamaan diatas bahwa F yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh v dan B akan selalu merupakan gaya yang mengarah ke samping. Persamaan diatas sesuai dengan kenyataan yang diamati, yaitu

1. gaya magnetik hilang apabila v mendekati nol
2. gaya magnetik hilang apabila v sejajar atau berlawanan arah dengan B (dalam kasus ini =0 atau 180⁰ dan)
3. jika v tegak lurus B, maka gaya pembelok (deflecting force) mempunyai nilai maksimumnya, yaitu .

Jika kita menempatkan sebuah muatan uji positif q₀ pada titik P dan jika sebuah gaya listrik bekerja pada muatan stasioner tersebut maka sebuah medan listrik E ada di P, dimana E adalah vektor yang memenuhi hubungan

q₀ dan F adalah kuantitas-kuantitas yang diukur. Arah karakteristik yang akan muncul dalam mendefinisikan E adalah arah gaya listrik (F_E) yang bekerja pada benda uji positif tersebut, dan searah dengan arah E. Dalam mendefinisikan B akan muncul dua arah karakteristik yakni arah v dan arah gaya magnetik F_B, yang arahnya selalu tegak lurus satu sama lain.

Muatan positif yang ditembakan tadi akan bergerak dengan lintasan helix, karena benda yang bergerak lurus setelah ditembakan akan dibelokan oleh medan listrik sehingga gerakannya melingkar dan akan terus bergerak maju sehingga lintasan yang dilewati partikel membentuk lintasan helix.