KINEMATIKA PARTIKEL

KINEMATIKA PARTIKEL

Kinematika partikel adalah cabang mekanika yang mempelajari gerak suatu partikel tanpa meninjau penyebab gerak tersebut. Suatu benda dikatakan partikel bila ukuran benda tersebut jauh lebih kecil dibandingkan dengan jarak benda tersebut terhadap titik acuannya dan dalam hal ini benda hanya ditinjau dari sisi pusat massanya saja. Dalam kinemtika ini akan dipelajari beberapa konsep penting yang berhubungan dengan gerak suatu partikel seperti posisi, jarak, kecepatan, dan percepatan, yang ditinjau dari koordinat-koordinat dimana partikel tersebut bergerak. Yaitu pada koordinat kartesian koordinat polar (dua dan tiga dimensi).

Koordinat Kartesian

Koordinat kartesian secara umum memakai sistem sumbunya sesuai dengan aturan tangan kanan dari sumbu x positif berputar berlawanan arah jarum jam ke sumbu y positif dan ibu jari menujukan arah sumbu z positif. Dan terdapat vektor satuan pada sistem koordinat kartesian. Vektor satuan dengan titik tangkapnya di (0,0,0) yang searah dengan sumbu x positif, searah sumbu y positif dan searah sumbu z positif, masing masing di beri notasi î,ĵ,, seperti gambar di bawah ini,

Selanjutnya kita perkenalkan vektor posisi yaitu vektor yang mempunyai titik tangkap di titik asal (0,0) ke titik (x,y) pada bidang dua dimensi atau dari (0,0,0) ke titik di (x,y,z) dalam ruang tiga dimensi. Atau vektor posisi adalah vektor yang menunjukkan (memberi informasi) tentang posisi sebuah benda/objek. Vektor posisi biasa diberi simbol r atau R dan dapat dinyatakan dalam komponen yang sejajar dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

r = x + y atau r = (x,y) pada bidang dengan besar r =

r = x + y + z atau r = (x,y,z) pada ruang dengan besar r =

Jika α,β,γ masing-masing sudut antara vektor posisi (r) dengan sumbu x,y,dan z maka,

cos α = ; cos β = ; cos γ =

untuk sistem koordinat kartesian, posisi titik materi dapat dinyatakan sebagai :

r = x + y

dengan demikian kecepatan titik materi dapat dinyatakan sebagai :

v= dr = dx + dy = v_x + v_y

dt dt dt

dan sebagai percepatan dinyatakan sebagai :

a = d = d ²x + d ²y = a_x + a_y

dt dt ² dt ²

untuk gerak tiga dimensi maka persamaan tersebut menjadi :

r = x + y + z

v = dr = dx + dy + dz = v_x + v_y+ v_z

dt dt dt dt

a = d = d ²x + d ²y + d ²z = a_x + a_y+ a_z

dt dt ² dt ² dt ²

2.2 Kecepatan dan Laju

Kecepatan adalah besaran yang bergantung pada arah sehingga kecepatan termasuk besaran vektor. Untuk gerak dalam satu dimensi, arah kecepatan dapat dinyatakan dengan tanda positif atau negatif. Sedangkan kelajuan adalah besaran yang tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk besaran skalar.

Dalam sistem kerangka acuan posisi dari sebuah partikel dapat digambarkan dengan sebuah vektor yang menunjukan tempat partikel relatif terhadap titik pusat (titik asal) dari sistem koordinat. Vektor inilah yang dinamakan dengan vektor posisi dari partikel. Dalam sistem koordinat tegak lurus vektor posisi secara sederhana dapat dituliskan

komponen dari vektor posisi dari gerakan partikel sebagai fungsi waktu adalah

Tinjau gambar dibawah,

untuk partikel yang bergerak memberi pengertian bahwa kedudukan pertikel selalu berubah dengan bertambahnya waktu. Perubahan kedudukan dari suatu partikel dibagi dengan perubahan waktu, didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata yang dirumuskan sebagai :

dan perubahan kecepatan sesaat didefinisikan untuk perubahan waktu yang sangat kecil

Besar kecepatan dinamakan dengan kelajuan. Dalam koordinat tegak lurus besar kecepatan diperoleh dari

Turunan kecepatan terhadap waktu dinamaka dengan percepatan, yang disimbolkan dengan yaitu

dan dalam komponen tegak lurusnya dapat dinyatakan dengan

PERCEPATAN NORMAL DAN TANGENSIAL

Suatu titik dapat mempunyai percepatan dalam suatu arah, apakah normal, tangensial atau kedua-duanya, terhadap jalur dari gerakannya. Jika suatu titik mempunyai gerakan yang berbentuk kurva, ia akan mempunyai sebuah percepatan normal sebagai akibat dari perubahan dalam arah dari kecepatan linearnya.

Vektor disebut vektor satuan tangensial, jika besar dari kecepatan linearnya berubah maka titik tersebut akan juga mempunyai percepatan tangensial. Untuk mendapatkan nilai percepatan (a) digunakan aturan diferensial parsial sebagai berkut

Vektor satuan besarnya konstan, memiliki diferensial yang menunjukan bahwa perubahan arah sangat bergantung terhadap waktu, hal ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Awalnya Partikel berada dititik P pada lintasan geraknya, dalam selang waktu partikel bergerak ke titik yang lain yaitu P’ sepanjang . Vektor satuan tangensial P dan P’ dapat dinotasikan dengan dan ’. Arah dua vektor ini dipisahkan dengan sudut yang diperlihatkanpada gambar. Kenyataannya bahwa untuk menilai yang kecil, nilai mendekati nilai . Arah menjadi tegak lurus terhadap dalam batas dan mendekati nol. Hal ini diikuti dengan besarnya diferensial satuaan tegak lurus terhadap. Oleh karena itu, disebut vektor normal satuan dan disimbolkan dengan huruf n.

Untuk menemukan hubungannya terhadap waktu, dapat digunakan aturan diferensial sebagai berikut

Yang mana

Jari-jari kelengkungan kurva dalam lintasan partikel bergerak pada titik P. nilai diatas untuk sekarang disisipkan kedalam persamaan

Sehingga diperoleh persamaan

Perubahan percepatan partikel mempunyai komponen percepatan tangensial dan percepatan normal, dimana :

dan

Percepatan normal selalu menuju ke pusat kurva pada sisi lengkung lintasan gerak, oleh karena itu komponen normal disebut juga percepatan sentripetal. Dari pernyataan di atas kita dapat melihat bahwa turunan kecepatan nterhadap waktu hanya menghasilkan komponen percepatan tangensial besarnya percepatan total adalah

Jadi, jika kecepatan pada sebuah partikel dalam lintasan melingkar tidak berubah maka percepatannya adalah percepatan normal, tetapi apabila kecepatan partikel dalam lintasan melingkar berubah maka percepatan partikelnya adalah percepatan normal dan percepatan tangensial.

Nb: percepatan normal muncul dari perubahan kecepatan linear dalam gerak rotasi beraturan, dan arahnya selalu menuju kepusat kurva sama dengan arah percepatan sentripetal hasil proyeksi dari kecepatan linear yang terjadi pada kurva. Sedangkan percepatan tangensial muncul dari perubahan besar kecepatan linear yang terjadi pada gerak rotasi berubah beraturan, arahnya tegak lurus dengan arah percepatan sentripetal.

4. Koordinat Polar

Koordinat polar digunakan untuk merepresentasikan gambaran gerak pada bidang yang gerakannya membelok atau lebih tepatnya lagi melingkar. Pada koordinat polar untuk bidang terdapat vektor satuan ê_ryang searah r dan vektor satuan ê_θ yang searah putaran sudut θ (berlawanan dengan arah jarum jam) seperti yang tampak pada gambar di bawah ini.

Hubungan antara vektor satuan pada bidang untuk kooordinat kartesian dan sistem koordinat polar sesuai dengan gambar di samping adalah,

ê_r= î cos θ + ĵ sin θ ............... (4.1)

ê_θ= -î sin θ + ĵ sin θ .............. (4.2)

Jika kedua vektor satuan di atas merupakan fungsi-fungsi yang berubah terhadap waktu (t), maka diferensiasi terhadap t yang diperoleh adalah,

= -î sin θ + ĵ cos θ = ê_θ

= ê_θ ................................................................................................... (4.3)

= -î cos θ - ĵ sin θ = - ê_r

= - ê_r .................................................................................................. (4.5)

Seperti telah disampaikan di atas bahwa koordinat polar (r,θ) sering digunakan untuk menyatakan keadaan partikel yang bergerak pada sebuah bidang. Arah vektor, yang menyatakan kedudukan partikel bisa ditulis sebagai hasil kali dari jarak radial r dengan vektor satuannya ê_r,

r = r ê_r ; substitusikan persamaan (4.1)

r = r ( î cos θ + ĵ sin θ ) ................................................................................... (4.6 )

Fungsi posisi di atas merupakan fungsi yang berubah terhadap waktu, jika kita diferensiasikan fungsi tersebut terhadap t baik jarak radial r ataupun vektor satuan radialnya ê_r, maka kita akan memperoleh persamaan kecepatan partikel yaitu :

v = ; subtitusikan persamaan (4.3)

v = ŕ ê_r+ r ê_θ

v = ê_r+ r ê_θ .................................................................................. (4.7 )

Jika kita diferensialkan persamaan kecepatan di atas terhadap waktu t, maka kita akan memperoleh persamaan percepatan partikel yang diberikan oleh :

a =

a = ( ê_r+ r ê_θ)

a = ; substitusikan persamaan (4.5)

a =

a = ê_r ( - r ² ) + (2 + r) ê_θ.................................................... (4.8)

5. Koordinat Silinder Polar (R, , Z)

Dalam kasus tiga dimensi, gerak partikel dapat digambarkan dalam koordinat silinder polar (R, , Z). Vektor posisi dituliskan sebagai :

(5.1)

dengan adalah vektor satuan radial dalam bidang xy dan adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu z. Vektor satuan adalah paralel dengan bidang xy dan tegak lurus terhadap (seperti terlihat pada gambar)

Gambar Koordinat Silnder (R, , Z)

atau

Dari gambar diatas, terlihat bahwa vektor satuan dan kecuali akan berubah arahnya dalamm ruang akibat perubahan posisi partikel P pada permukaan silinder.

Turunan terhadap waktu dari persamaan posisi r diatas, akan menghasilkan kecepatan partikel :

(5.2) Untuk mencari turunan vektor satuan dan terhadap waktu, ditentukan kaitan dengan vektor satuan. Berdasarkan gambar diatas, diperoleh kaitan sebagai berikut :

(5.3)

Sehingga akan diperoleh

dan (5.4)

Substitusi persamaan (5.4) kedalam persamaan (5.2) diperoleh

(5.5)

Untuk memperoleh vektor percepatan, dengan mudah diperoleh turunan persamaan (5.5) terhadap waktu, yaitu :

(5.6)

Berdasarkan persamaan (5.5) dan (5.6) diatas, vektor satuan tidak dapat berubah secara langsung sehingga turunannya bisa sama dengan nol.

Koordinat Bola

Selain pada koordinat silinder, gerak partikel pada tiga dimensi bisa juga digambarkan pada koordinat bola (r, θ, φ) seperti yang digambarkan di bawah ini :