Gerak Harmonis Sederhana

Salah satu contoh klasik dari gerak harmonis sederhana adalah gerak balok yang dihubungkan dengan pegas (gambar 1). Jika pegas tidak ditekan atau ditarik dengan simpangan yang terlalu jauh, gaya F pada balok sebagai fungsi posisi x dapat dinyatakan sebagai:

F = - k x                                               (1)

Gambar 1 : Sistem pegas balok

Meskipun terlihat sederhana, persamaan (1) memiliki makna yang cukup mendalam. Untuk memahaminya secara menyeluruh perlu kajian yang cukup mendalam. Dalam Tulisan ini akan coba saya jabarkan kode program dalam bahasa c++ untuk membuat simulasi gerak dari sistem pada gambar (1). Saya berharap dengan sedikit bantuan dari kode program berikut akan memberi tambahan instrument untuk  mengkaji lebih dalam tentang makna dari persamaan (1).

Sebelum membahas tentang kode program terlebih dahulu saya akan mencoba memberikan sedikit interpretasi saya tentang makna dari persamaan (1). Yang membuat persamaan 1 menjadi menarik adalah tanda minus (-) pada ruas kanan. Kenapa demikian?. Coba kita ingat kembali bahwa Gaya (F) dan posisi (x) adalah besaran vektor, artinya selain memiliki besar kedua besaran tersebut juga sangat berpengaruh pada arahnya. Misalkan : Ketika balok sedang bergerak ke kanan dan posisi balok berada di kanan titik keseimbangan (x positif) maka arah gaya pada benda adalah negatif dari arah vektor x, dalam bahasa yang lebih sederhana Arah dari F berlawan dengan arah dari perubahan posisi x. Kemudian jika terjadi sebaliknya, benda sedang bergerak ke kiri (x bertanda negatif) maka F akan menjadi bertanda positif dan lagi – lagi F memiliki arah yang berlawan dengan x. Jadi jika kita simpulkan F akan selalu memiliki arah yang berlawan dengan arah x.

Dalam sebuah literator dikatakan bahwa “tanda negatif memiliki arti bahwa gaya yang bekerja pada benda akan berusaha untuk mengembalikan (memulihkan) benda ke posisi keseimbangan”. Oleh karena sifatnya yang demikian maka gaya tersebut sering juga di kenal dengan istilah “Gaya Pulih” atau “gaya pemulihan”. Istilah lain dari gaya tersebut juga adalah “gaya pegas”. Kenapa gaya pegas? Kayaknya tidak perlu saya jelaskan untuk hal ini ya J.

Owh iya, apa itu posisi keseimbangan? Dari namanya mungkin sudah bisa diterka – terka apa itu posisi keseimbangan. Dalam bahasa yang umum digunakan pada buku – buku literator posisi keseimbangan adalah posisi benda ketika benda dalam keadaan seimbang atau belum di beri gangguan. Gangguan dalam konteks ini maknanya adalah diberi tarikan atau dorongan.

Lumayan pajang juga penjelasan tentang tanda negatif dari persamaan 1 di atas ya. Kalau masih kurang panjang nanti saya coba tambahkan lagi deh. OK, setalah mencoba memahami sedikit makna fisis dari persamaan 1 kit sekarang mencoba untuk menjabarkan makna persamaan 1 ke hal yang lebih detail, dan dalam penjelasan berikut akan lebih banyak menggunakan persamaan matematika yang kalau kalian tidak paham jangan sampai frustrasi atau sampai ingin bunuh diri,, lebay!!

Gaya dalam pernyataan hukum II Newton biasanya dinyatakan dengan 

                                                   F = m a                                            (2)

Gaya pada persamaan  1 dan persamaan 2 jika kita substitusikan akan didapatkan hubungan antara massa (m), percepatan (a), konstanta pegas (k) dan posisi (x), jadi ribetkan L

 m a = - k x                                     (3)

untuk mengurangi besaran yang kita bahas kita coba ingat lebih dalam lagi tentang hubungan antara percepatan dengan posisi, kalau tidak ingat saya tuliskan lagi deh nee.

                                     (4)

                                                                                      

Jika digabungkan persamaan 3 dan 4 akan didapatkan hal yang terlihat seperti lebih sulit namun percayalah ini kan membuat persamaan ini bisa diselesaikan lebih mudah;

                                       (5)

Dsisini kita coba kenalkan sebuah simbol baru yakni omega (⍵) yang kita namai dengan frekuensi sudut. Lebih jauh lagi nanti kita bahas apa yang di maksud dengan frekuensi sudut tersebut. Namun jika kita menyamakan antara  besaran yang di tengah dengan yang di kanan maka secara langsung kita bisa katakan bahwa :

                                        (6)

Coba kita tulis ulang lagi persamaan 5 supaya terlihat lebih eksotik dan mudah untuk kita identifikasi dan mudah – mudahan bisa kita selesaikan

                           (7)

Nah persamaan di atas dalam kuliah Fisika Matematika kita kenal dengan istilah PDB orde 2  dengan koefesien konstan. Cara menyelesaikannya banyak, yang cukup mudah dipahami dan di lakukan adalah ekspansi deret Taylor (apalagi ini!!). Dalam posting ini saya tidak akan menguraikan penurunannya karena bisa jadi panjang. Saya langsung saja pada hasil akhirnya yakni persamaan posisi atau x dari persamaan (6). Hasilnya adalah sebuah persamaan sinus atau cosinus, yakni ;

                                (8)

Dengan A adalah amplitudo dan t adalah waktu.